Proposición 23

Enunciado

Sea $X$ un espacio topológico y $p \in X$ fijo. Supongamos que cualquier punto de $X$ se puede unir mediante un camino con $p$ . Entonces $X$ es conexo por caminos.

Demostración

Definimos dos caminos $α_{1} : [0, 1] \to X, α_{2} : [0, 1] \to X$ , de manera que $α_{1} (0) = α_{2} (0) = p$ , al mismo tiempo que $α_{1} (1) = q_{1}$ y $α_{2} (1) = q_{2} .$ En este caso, podemos definir la función $\tilde{α} : [0, 1] \to X$ dada por

\tilde{α} (t) = {\begin{cases} α_{1} (1 - t) si t \in [0, \frac{1}{2}] \\ α_{2} (t - 1) si t \in [\frac{1}{2}, 1] \end{cases}

Por el lema del pegado, $\tilde{α}$ será continua y se cumple que $\tilde{α} (0) = q_{1}$ a la vez que $\tilde{α} (1) = q_{2}$ .